Pornind de la un articol anterior - Introducere în inducția matematică - vom enumera în continuare câteva aplicaţii ale inducţiei matematice, cât şi modul lor de demonstrare. Astfel, veţi putea realiza felul în care metoda trebuie aplicată, cât şi genul de probleme la care se aplică.

credit: http://math.njit.edu

Suport teoretic pentru principiul inducţiei matematice

Pentru a vă revizui cunoştinţele teoretice legate de inducția matematică, vă sugerăm să citiţi: Introducere în inducția matematică.

Exercițiul 1

Un exemplu simplu ar fi problema următoare:

Demonstraţi că: {tex}P(n) : 1+2+3+...+n=  \frac{n \cdot (n+1)}{2}{/tex} pentru orice n - număr natural nenul.

Vom rezolva acestă problemă fără a apela la principiul lui Gauss.

Rezolvarea este prezentată în continuare:

Vom demonstra problema dată folosind metoda inducţiei matematice. Astfel, vom verifica cele 2 etape:

- etapa de verificare: luăm n-minim, adică {tex}n=1{/tex}.

Avem {tex}P(1) : 1= \frac{1 \cdot 2}{2}{/tex} - propoziţie adevărată. Deci etapa de verificare a fost realizată.

- etapa de demonstraţie: trebuie să demonstrăm că dacă {tex}P(n){/tex} este adevărată, atunci {tex}P(n+1){/tex} este adevărată.

Avem:

{tex}1+2+3+...+n+(n+1) = (1+2+3+...+n)+(n+1)=\frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) =\frac{n \cdot (n+1) + 2 \cdot (n+1)}{2} =\frac{(n+2) \cdot (n+1)}{2}{/tex}

Astfel avem demonstrată propoziţia {tex}P(n+1){/tex}.

Deci și etapa de demonstrație a fost finalizată.

Folosind metoda inducţiei matematice am demonstrat că:  {tex}P(n) : 1+2+3+...+n=  \frac{n \cdot (n+1)}{2}{/tex} pentru orice n - număr natural nenul.

Exercițiul 2

De asemenea, mai putem da ca și exemplu problema următoare:

Să se demonstreze că pentru orice {tex}n \geq 1{/tex}, n - număr natural, avem:

{tex}1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...  + \frac{1}{2n}{/tex}.

Demonstrație:

Notăm cu {tex}P(n){/tex} egalitatea de mai sus, pentru numărul n.

Vom demonstra problema folosind metoda inducției matematice. Deci, vom verifica cele două etape:

- etapa de verificare:

Alegem n-minim, adică {tex}n=1{/tex}. Astfel, egalitatea dată devine {tex}1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{/tex}. Deci {tex}P(1){/tex} este adevărată. Astfel,  etapa de verificare este demonstrată.

- etapa de demonstrație:

Demonstrăm că dacă {tex}P(k){/tex} este adevărată, atunci {tex}P(k+1){/tex} este adevărată.

{tex}P(k): 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + ...  + \frac{1}{2k}{/tex}

{tex}P(k+1): 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)}  = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + ...  + \frac{1}{2(k+1)}{/tex}

Scăzând membru cu membru egalităţile de mai sus (prima egalitate dintr-a doua ), obţinem egalitatea:

{tex}\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}{/tex}

Dar aceasta este evident adevărată.

Astfel, cum {tex}P(k){/tex} este adevărată şi propoziţia de mai sus este şi aceasta adevărată, atunci şi {tex}P(k+1){/tex} este adevărată.

Aşadar, etapa de demonstraţie a fost realizată.

Conform metodei inducţiei matematice avem:

{tex}1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...  + \frac{1}{2n}{/tex} pentru orice {tex}n \geq 1{/tex}, n - număr natural.

Exercițiul 3

Majoritatea problemelor care se rezolvă prin metoda inducţiei matematice nu ne indică formula generală ce trebuie demonstrată. În acele cazuri, trebuie sa verificăm ceea ce ni se dă pentru câteva valori particulare, iar apoi să observăm formula generală. O astfel de problemă este următoarea:

Să se calculeze suma: {tex}\frac{1}{1 \cdot 2} +  \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n \cdot (n+1)}{/tex} pentru orice n - număr natural {tex}n \geq 1{/tex}.

Demonstraţie:

Notăm suma de mai sus cu  {tex}S(n){/tex}. Ca să obţinem expresia generală, vom verifica mai întâi câteva cazuri particulare, adică {tex}n=1, n=2, n=3{/tex} şi obţinem:

{tex}S(1) = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}{/tex}

{tex}S(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac {1}{6} = \frac {4}{6} = \frac {2}{3}{/tex}

{tex}S(3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{2} + \frac {1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}{/tex}

Observând sumele de mai sus constatăm că {tex}S(n) = \frac{n}{n+1}{/tex}.

Astfel că am ajuns la etapa în care am intuit o expresie generală, şi vom încerca să o demonstrăm prin metoda inducţiei matematice.

Lăsăm restul rezolvării problemei ca şi exerciţiu în care să aplicaţi raţionamentul inducţiei matematice.

Articol scris pe baza unor manuale de matematică de clasa a IX-a.

Detalii

de: Tiberiu Puican

Matematica

15 Martie 2011

Inducţia matematică reprezintă un procedeu ce poate fi folosit în cadrul rezolvării unor probleme de algebră. Prin aceasta se înţelege o metodă de raţionament care conduce de la propoziţii particulare la o oarecare propoziţie generală. Aşa cum este prezentată în majoritatea manualelor şcolare, se lasă o falsă impresie cum că aceasta ar fi folosită numai pentru demonstrarea unor formule date. Însă inducţia poate fi folosită pentru rezolvarea unor probleme cu rezultat mult mai complex, a căror soluţionare ar fi mult mai grea dacă nu am utiliza această metodă.

credit: http://math.njit.edu

Principiul inducţiei matematice

Principiul pe care se bazează inducţia matematică este:

Fie {tex}P(n){/tex} o propoziţie care depinde de un număr natural {tex}n \geq m{/tex}, m fiind un număr natural fixat. Demonstraţia prin metoda inducţiei matematice a propoziţiei {tex}P(n){/tex}, constă din două etape:

1. Se verifică mai întâi că {tex}P(m){/tex} este adevărată.

2. Se presupune că {tex}P(k){/tex} este adevărată şi se demonstrează că {tex}P(k+1){/tex} este adevărată, k fiind un număr natural mai mare sau egal cu m (adică {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex} , {tex}k \geq m{/tex} ).

Dacă ambele etape ale demonstraţiei sunt verificate, atunci propoziţia {tex}P(n){/tex} este adevărată pentru orice număr natural {tex}n \geq m{/tex} .

Intuitiv, această metodă de demonstraţie se justifică astfel:

Din {tex}P(m){/tex} adevărată şi {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex}, pentru orice {tex}k \geq m{/tex}, rezultă că {tex}P(m+1){/tex} este adevărată (unde {tex}k=m{/tex} ); apoi, luând {tex}k=m+1{/tex} se obţine că {tex}$ P(m+2) ${/tex} este adevărată, şi aşa mai departe. Raţionând "din aproape în aproape" deducem că propoziţia {tex}P(n){/tex} este adevărată pentru orice număr natural {tex}n \geq m{/tex} .

Metoda inducţiei matematice ne arată că dacă {tex}P(1){/tex} este adevărată (pentru {tex}m=1{/tex}), şi din {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex}, pentru {tex}k \geq 1{/tex}, unde k este număr natural, avem că {tex}P(k){/tex} este adevărat pentru orice k număr natural.

Câteva aplicaţii rezolvate puteţi găsi în cadrul articolului: Inducţia matematică - Aplicaţii.

Articol scris pe baza unor manuale de matematică de clasa a IX-a.

Detalii

de: Tiberiu Puican

Matematica

15 Martie 2011

În acest articol vă prezentăm o scurtă lecţie de algebră despre grupul lui Klein.

Curba cuartică a lui Klein
credit: Greg Egan

Fie mulţimea {tex}K = \{ e, a, b, c \}{/tex} înzestrată cu o lege de compoziţie definită prin următorul tabel:

Observaţi că pe diagonala principală a tabelului avem elementul „E”, care este şi elementul neutru al legii de compoziţie, iar pe diagonala secundară avem elementul „C”, care reprezintă compunerea dintre „A” şi „B”. Aşadar oricare ar fi elementul {tex}x \in K{/tex} , el are proprietatea că {tex}x^2 = e{/tex} .

Acesta este grupul lui Klein, un grup finit, comutativ, cu patru elemente, deci ordinul: {tex}ordK = 4{/tex}. Vă rămâne vouă ca  exerciţiu să demonstraţi prin calcul această afirmaţie. Acest tip de grup a fost creat de matematicianul german Felix Klein în 1884 pentru a studia simetriile bidimensionale şi tridimensionale.

Sticla lui Klein, descrisă pentru prima dată în 1882 de către Felix Klein.

Un alt rezultat deosebit de interesant, pe care merită să îl demonstraţi, tot ca exerciţiu de algebră, este următorul: "Orice grup de 4 elemente este izomorf fie cu grupul lui Klein, fie cu grupul {tex}(\mathbb{Z}_4 , +){/tex}". Aşadar orice grup finit cu patru elemente îşi poate găsi o corespondenţă într-o simetrie geometrică.

Detalii

de: Mihai Bărbulescu

Matematica

15 Martie 2011

În nenumărate probleme de matematică sunt întâlnite conceptele de parte întreagă şi parte fracţionară a unui număr real. În articolul de mai jos definim aceste două concepte şi enumerăm principalele proprietăţi menite să vă ajute în rezolvarea problemelor de matematică cu parte întreagă şi parte fracţionară.

Fie {tex} $x\in\mathbb{R}${/tex} un număr real dat.

Definiţia 1: Se numeşte parte întreagă a numărului real {tex}x{/tex} cel mai mare număr întreg {tex}k{/tex} ce nu-l depăşeşte pe {tex}x{/tex}. Alternativ putem defini partea întreagă a lui {tex}x{/tex} având în vedere următoarele aspecte: pentru numărul real{tex}x{/tex} există şi este unic {tex}k\in\mathbb{Z}{/tex} cu proprietatea {tex}k\le x {/tex}.

Notaţie: Partea întreagă a lui {tex}x{/tex} se notează cu {tex}[x]{/tex}.

Definiţia 2: Se numeşte parte fracţionară a numărului real {tex}x{/tex} diferenţa dintre {tex}x{/tex} şi partea lui întreagă.

Notaţie: Partea fracţionară a lui {tex}x{/tex} se notează cu {tex}\{x\}{/tex}. Având în vedere această notaţie, partea fracţionară se defineşte astfel: {tex}\{x\}=x-[x]{/tex}.

Proprietăţi:

1) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},[k]=k{/tex};

2) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc egalitatea {tex}[x+k]=[x]+k{/tex};

3) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc relaţia {tex}\{x+k\}=\{x\}{/tex};

4) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z}{/tex} avem {tex}\{k\}=0{/tex};

5) Pentru {tex}\forall x\in\mathbb{R}{/tex} avem {tex}0\le\{x\}<1{/tex};

6) Pentru {tex}\forall x,y\in\mathbb{R}{/tex} are loc {tex}[x+y]\ge[x]+[y]{/tex};

7) Pentru orice două numere reale pozitive {tex}x,y{/tex} are loc inegalitatea {tex}[xy]\ge[x][y]{/tex};

8) Pentru {tex}\forall n\in\mathbb{N^{*}},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} este adevărată identitatea {tex}[\frac{x}{n}]=[\frac{[x]}{n}]{/tex};

9) Pentru {tex}\forall n\in\mathbb{N^{*}}, \forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc identitatea lui Hermite:

{tex}[x] + [x+\frac{1}{n}] + [x+\frac{2}{n}] +...+ [x+\frac{n-1}{n}]=[nx]{/tex}

sau în scriere prescurtată:

{tex}\dsiplaystyle \sum_{k=0}^{n-1}  [x+\frac{k}{n}]=[nx]{/tex}

Detalii

de: Laurenţiu Tuca

Matematica

15 Martie 2011

Lecţie de algebră: inegalităţile mediilor aritmetică, geometrică, pătratică şi armonică.

Inegalităţile mediilor

{tex}\small \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac {1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n} \le \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \le \sqrt {\frac {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .. + {a_n}^2}{n}}{/tex}

În figura de mai sus avem, în ordine, media armonică, media geometrică, media aritmetică şi media pătratică a n numere reale strict mai mari decât zero.

Dacă exemplificăm pe două numere a şi b, unde a este mai mic decât b, aceste inegalităţi arată astfel:

{tex}a \le \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac {1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt {\frac {a^2 + b^2}{2}} \le b{/tex}

Egalitatea apare atunci când a=b.

Detalii

de: Iosif A.

Matematica

14 Martie 2011

Într-un articol recent am făcut o introducere a funcţiilor trigonometrice. Să vedem acum reprezentarea lor grafică şi explicaţiile de rigoare.

Introducere

Eşti la şcoală şi vrei să ai pe internet, în limba română, un referat de matematică cu o serie de tabele cu cele mai utile formule de matematică şi fizică? Echipa Scientia.ro face posibil acest lucru. Continuăm lecţiile de trigonometrie cu prezentarea graficelor funcţiilor sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.

Detalii

de: Mihai Bărbulescu

Matematica

13 Martie 2011

Definiţia logaritmului

Fie {tex}a\in (0,\infty)-\{1\}{/tex} şi {tex}$b\in(0,\infty)${/tex}, două numere reale. Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv {tex}$b${/tex} exponentul la care trebuie ridicat numărul {tex}$a${/tex}, denumit bază, pentru a obţine numărul {tex}$b${/tex}.

Notaţiile logaritmilor

Logaritmul numărului {tex}$b${/tex} în baza {tex}$a${/tex} se notează: {tex}$\log_a b${/tex}. Cu această notaţie şi cu definiţia de mai sus devine clar că {tex}$\displaystyle b=a^{\log_a b}${/tex}.

Funcţia logaritm şi graficul acesteia

Funcţia logaritm este, cu alte cuvinte, inversa funcţiei exponenţiale. Vom considera funcţia bijectivă {tex}$ f: \mathbb{R} \rightarrow (0, \infty) , f(x) = a^x ,  a \epsilon (0, \infty) - \{1\}${/tex}, al cărei grafic îl puteţi vedea în figura de mai jos:

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale. Observaţi că pentru o bază mai mare decât 1 are această figură. Observaţi că limita la minus infinit este 0, iar la plus infinit este chiar infinit.

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale a cărei baza este mai mică decât 1. Este vorba de o funcţie strict descrescătoare, spre deosebire de cealaltă, care era o funcţie strict crescătoare. De data aceasta, la minus infinit, funcţia tinde să fie infinită, pe când la infinit valoarea sa tinde către 0.

credit: e-formule.ro

Cazuri particulare de logaritmi

Logaritmii in baza 10 se numesc logaritmi zecimali şi se notează {tex}$\log_{10} b${/tex} sau {tex}$\lg b${/tex}, iar cei în baza e se numesc logaritmi naturali sau neperieni (de la numele matematicianului scoţian Neper, sau Napier, care i-a descoperit), şi se notează {tex}$\ln_a b${/tex}.

Proprietăţile logaritmilor

01. {tex}$\displaystyle \log_a x = \log_a y \Rightarrow x=y${/tex}, dacă {tex}$\displaystyle x, y>0${/tex} (injectivitatea funcţiei logaritm).

02. {tex}$ \displaystyle \log_a a=1${/tex}

03. {tex}$ \displaystyle \log_a 1=0${/tex}

04. {tex}$ \displaystyle \log_a x + \log_a y=\log_a (xy) ${/tex}

05. {tex}$ \displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \left(\frac{x}{y}\right) ${/tex}

06. Fie {tex}$c\in \mathbb{R}$ {/tex}. Atunci {tex}$ \displaystyle \log_a x^c=c\cdot log_a x${/tex}

07. {tex}$ \displaystyle \log_a x\cdot \log_x a=1${/tex}

08. {tex}$ \displaystyle \log_a x=\frac{\log_y x}{\log_y a}${/tex}

09. {tex}$ \displaystyle a>1 , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x < 0 ${/tex}

10. {tex}$ \displaystyle a>1 , x>1 \Rightarrow \log_a x > 0 ${/tex}

11. {tex}$ \displaystyle a \in (0,1) , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x > 0 ${/tex}

12. {tex}$ \displaystyle a \in (0,1) , x>1 \Rightarrow \log_a x < 0 ${/tex}

13. Dacă {tex}$ \displaystyle a>1${/tex} funcţia {tex}$ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x${/tex} este strict crescătoare, adică pentru {tex}$ \displaystyle x>y${/tex}, avem {tex}$ \displaystyle \log_a x>\log_a y${/tex}

14. Dacă {tex}$ \displaystyle a \in (0,1) ${/tex} funcţia {tex}$ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x${/tex} este strict descrescătoare, adică pentru {tex}$ \displaystyle x>y${/tex}, avem {tex}$ \displaystyle \log_a x<\log_a y${/tex}

15. Fie {tex}$ \displaystyle c\in\mathbb{R}-\{0\}$ {/tex}. Atunci {tex}$ \displaystyle \log_{a^c} x=\frac{1}{c} \log_a x${/tex}

16. Fie {tex}$ \displaystyle  x\in\mathbb{R}, a>0, a\not=1${/tex}. Atunci {tex}$ \displaystyle a^x=e^{x \ln a}$ \displaystyle {/tex}.

Pentru fiecare dintre proprietăţile unde nu sunt puse condiţii pentru {tex}$ \displaystyle a, x, y ${/tex} , se subînţeleg condiţiile din definiţie.

Detalii

de: Laurenţiu Tuca

Matematica

13 Martie 2011

Zenon a fost un filozof grec presocratic, din sudul Italiei, membru al şcolii filozofice din Elea, întemeiată de Parmenide. Vă prezentăm în acest articol trei din cele mai cunoscute patru paradoxuri ale lui Zenon, unele dintre cele mai faimoase, mai durabile, mai şocante şi mai interesante paradoxuri, formulate de filozoful eleat în anul 450 î.Hr.

Filozoful grec Zenon, discipol al lui Parmenide, a trăit în secolul al cincilea î. Hr. şi ne-a lăsat moştenire câteva paradoxuri profunde a căror rezolvare ne invită să medităm asupra noţiunilor de infinit şi de mişcare. A fost numit de Aristotel fondatorul dialecticii (formă veche de găsire a adevărului, cunoscută şi drept arta interlocuţiunii).

Detalii

de: Mihai Bărbulescu

Matematica

03 Martie 2011

În continuare, lista derivatelor pentru funcţiile uzuale.

Credit: http://www.hypercyber.it

Derivata unei funcţii este o noţiune matematică ce a fost descoperită în jurul anului 1665 de Isaac Newton. Aceasta i-a permis să definească matematic noţiunea de viteză instantanee ca şi derivata faţă de timp a poziţiei în spaţiu în funcţie de timp, iar acceleraţia instantanee ca şi derivata în funcţie de timp a vitezei ca şi funcţie de timp.

Tabel cu derivate uzuale

{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle  a $ & $\displaystyle 0 $\\
$\displaystyle a x $ & $\displaystyle a $\\
$\displaystyle  \frac{1}{x} $ & $\displaystyle -\frac{1}{x^2} $\\
$\displaystyle \sqrt{x} $ & $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{x}} $\\
$\displaystyle a x^n $  & $\displaystyle  a n x^{n-1} $\\
$\displaystyle \sin  x $  & $\displaystyle  \cos x  $\\
$\displaystyle \cos x $  & $\displaystyle - \sin x $\\
$\displaystyle \tan x $  & $\displaystyle \! \frac{1}{\cos^2 x} \,  \! \rm{sau} \,  1+\tan^2 x  $\\
$\displaystyle \cot x$  & $\displaystyle  \! -\frac{1}{\sin^2 x} \,  \! \rm{sau} \,  -1-\cot^2 x $\\
\end{tabular}
{/tex}

{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \arcsin x $  & $\displaystyle   \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\
$\displaystyle \arccos x $  & $\displaystyle -  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\
$\displaystyle \arctan x $  & $\displaystyle \frac{1}{1+x^2} $\\
$\displaystyle a^x $  & $\displaystyle a^x  \ln a $\\
$\displaystyle \ln \mid x\mid  $  & $\displaystyle \frac{1}{x} $\\
$\displaystyle e^x $  & $\displaystyle e^x $\\
\end{tabular}
{/tex}

Găsiţi în acest tabel: derivata funcţiei putere, derivata funcţiei exponenţiale, derivata funcţiei sinus, derivata funcţiei cosinus, derivata funcţiei tangentă, derivata funcţiei cotangentă, derivata funcţiei arcsin, derivata funcţiei arccos, derivat funcţiei arctan, derivata funcţiei logaritm, precum şi a altor funcţii uzuale. Acestea ţin de capitolul din matematică denumit analiză matematică.

Detalii

de: Adrian Bulat

Matematica

27 Februarie 2011

În acest articol, câte ceva despre noţiunea de derivată şi regulile de derivare:

Credit: http://www.batmath.it

Reguli de derivare

{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \rm{Nume} $ & $\displaystyle \rm{Regula} $\\
$\displaystyle \rm{Liniara} $ & $\displaystyle ( af)^ \prime \! = a f^ \prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Liniara} $ & $\displaystyle ( f + g)^ \prime \! = f^ \prime + g^\prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Liniara} $ & $\displaystyle ( f - g)^ \prime \! = f^ \prime - g^\prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Produs} $ & $\displaystyle ( f g )^ \prime \! = f^ \prime g + g^\prime f \! $\\
$\displaystyle \rm{Inversa} $ & $\displaystyle (\frac{1}{ f})^\prime = \frac{-f ^ \prime}{ f^2} $\\
$\displaystyle \rm{Coeficient} $ & $\displaystyle (\frac{f}{ g})^\prime = \frac{f ^ \prime g - f g^ \prime}{ g^2} $\\
$\displaystyle \rm{Compusa} $ & $\displaystyle ( g \circ f )^ \prime \! = (g^\prime \circ f )f^\prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Reciproca} $ & $\displaystyle ( f ^{-1})^ \prime \! = \frac{1}{ f^\prime \circ f^{-1} } \! $\\
\end{tabular}
{/tex}

şi în particular regulile deduse pentru derivatele funcţiei compuse:

{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \rm{Putere}$ & $\displaystyle ( f ^ a)^ \prime \! =a f^{a - 1}f ^ \prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Radical} $ & $\displaystyle (\sqrt{ f })^ \prime \! = \frac{f^\prime}{ 2 \sqrt {f} } \! $\\
$\displaystyle \rm{Exponentiala} $ & $\displaystyle (e^f )^ \prime \! = e^f f^ \prime $\\
$\displaystyle \rm{Logaritmica} $ & $\displaystyle (\log_{b} f)^ \prime = \frac{f^\prime}{ f \ln{b} } $\\
$\displaystyle \rm{Logaritmica} $ & $\displaystyle (\ln{f})^ \prime = \frac{f^\prime}{ f } $\\
\end{tabular}
{/tex}

În tabelul de mai sus găsiţi cele mai frecvente reguli utilizate la calcularea derivatelor. Pentru funcţiile care sunt exprimate ca o combinaţie liniară a funcţiilor simple, cum ar fi produs, cât sau compuse, folosim de asemenea un număr mic de reguli algebrice ce rezultă din definiţiile  de mai sus. Acestea ţin de ramura matematicii numită analiză matematică.

Detalii

de: Adrian Bulat

Matematica

27 Februarie 2011

În acest articol puteţi găsi lista primitivelor pentru câteva funcţii uzuale.

Credit: Wikimedia Commons

Tabel cu integrale uzuale

{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
\displaystyle \int \! x^n \, dx & \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\
\displaystyle \int \! a^x \, dx & \displaystyle \frac{a^x}{\ln a}+ C\\
\displaystyle \int \! \frac{1}{x} \, dx & \displaystyle \ln \mid x \mid + C\\
\displaystyle \int \! \frac{1}{x^2-a^2} \, dx & \displaystyle \frac{1}{2a} \ln \mid \frac{x-a}{x+a}\mid  + C\\
\displaystyle \int \! \frac{1}{x^2+a^2} \, dx  & \displaystyle \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C \\
\displaystyle \int \! \sin x \, dx  & \displaystyle - \cos x+ C\\
\displaystyle \int \! \cos x \, dx  & \displaystyle  \sin x + C \\
\displaystyle \int \! \frac{1}{\cos^2 x} \, dx  & \displaystyle \tan x + C \\
\displaystyle \int \! \frac{1}{\sin^2 x} \, dx  & \displaystyle - \cot x + C \\
\end{tabular}
{/tex}

{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \int \! \tan x \, dx$  & $\displaystyle - \ln \mid\cos x\mid + C $\\
$\displaystyle \int \! \cot x \, dx$  & $\displaystyle \ln \mid \sin x\mid + C $\\
$\displaystyle \int \! \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \, dx$  & $\displaystyle \ln (x+\sqrt{x^2+a^2}) + C $\\
$\displaystyle \int \! \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} \, dx$  & $\displaystyle \ln (x+\sqrt{x^2-a^2}) + C $\\
$\displaystyle \int \! \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx$  & $\displaystyle \arcsin \frac{x}{a} + C $\\
\end{tabular}
{/tex}

Găsiţi în tabelele de mai sus primitivele pentru funcţia putere, funcţia exponenţială, funcţia 1/x, funcţia sinus, funcţia cosinus, funcţia tangentă, funcţia cotangentă, precum şi pentru alte funcţii uzuale.

Diferenţa între integrală nedefinită şi primitivă

Diferenţa între cele două noţiuni ar putea fi rezumată astfel:
Fie f:I->R(I interval din R), o funcţie care admite primitive.
Mulţimea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f.

Cf. Wikipedia, unii autori definesc integrala nedefinită a unei funcţii ca fiind mulţimea tuturor primitivelor posibile ale acesteia (varianta de mai sus). Alţii o definesc ca fiind un element ales arbitrar din acea mulţime.

Detalii

de: Adrian Buzatu

Matematica

26 Februarie 2011

Eşti la şcoală şi vrei să ai pe internet, în limba română, o serie de tabele cu cele mai utile formule de matematică şi fizica? În acest articol vorbim despre formule de matematică necesare la liceu şi poate chiar la gimnaziu: funcţiile trigonometrice. Adică sinus, cosinus, tangentă, cotangentă şi relaţiile dintre ele.

Credit: Wikipedia.

Definiţii ale funcţiilor trigonometrice

Definiţia sinusului asociat unui unghi: raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului respectiv şi lungimea ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghic.

Definiţia cosinusului asociat unui unghi: raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului respectiv şi lungimea ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghic .

Definiţia tangentei asociate unui unghi: raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului respectiv şi lungimea catetei alăturate dintr-un triunghi dreptunghic.

Definiţia cotangentei asociate unui unghi: raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului respectiv şi lungimea catetei opuse dintr-un triunghi dreptunghic.

Relaţia de bază dintre sinus şi cosinus

Formula tangentei în funcţie de sinus şi cosinus

Formula cotangentei în funcţie de sinus şi cosinus

Tabel ale valorilor unghiurilor de bază în grade şi în radiani

Aceste valori le puteţi găsi reprezentate şi pe acest cerc trigonometric, dar nu numai pentru valorile de la 0 la 90 de grade, precum mai sus în tabel, ci de la 0 la 360 de grade.

Valorile sinusului şi cosinusului pe cercul trigonometric.
Credit imagine: Wikipedia

Detalii

de: Adrian Buzatu

Matematica

23 Februarie 2011

Există o metodă foarte simplă pe care o puteţi folosi pentru a ridica la pătrat numere mari, care au 5 la final. Să luăm următorul exemplu: 85². Rezultatul este 7225 şi poate fi calculat în câteva secunde, fără nicio bătaie de cap. Cum? Iată metoda:

Ultimele două cifre ale rezultatului vor fi mereu 2 şi 5. Deci orice înmulţire de genul a5xb5 va avea ultimele două cifre 25.

Primele două cifre rezultă din înmulţirea dintre prima cifră (8) şi cifra cu unu mai mare (9), deci 8x9=72.

Iată câteva exemple:

65² = 4225.
După cum am stabilit, 25 rezultă din înmulţirea 5x5 şi este mereu prezent la finalul înmulţirilor numerelor cu 5 la final. 42 rezultă din înmulţirea dintre primul număr (6) şi numărul mai mare cu unu decât acesta (7): 6x7=42.

95² = 9025.
5x5=25, iar 9x10=90.

Detalii

de: Iosif A.

Matematica

08 Ianuarie 2011

În fapt este vorba despre un truc ce ajută la efectuarea înmulţirilor, atunci când se cunoaşte înmulţirea până la 5x5. Odată cunoscută prima parte a tablei înmulţirii, calculele mai grele pot fi rezolvate uşor prin trucul detaliat aici.

Detalii

de: Iosif A.

Matematica

08 Ianuarie 2011

• tabla-inmultirii

Să spunem că trebuie să adunaţi rapid, în minte, mai multe numere consecutive, de pildă 5 + 6 + 7 + 8. Această adunare poate fi făcută după metoda clasică, adunând primul număr cu al doilea, rezultatul cu al treilea ş.a.m.d. Dar ce facem în cazul seriilor mai lungi?

Detalii

de: Iosif A.

Matematica

13 Noiembrie 2010