Lumina Cherenkov apare când o particulă încărcată electric călătoreşte prin materie mai repede decât o poate face lumina. Acest efect este echivalentul optic al unui „boom sonic” care se produce, de pildă, când un avion turboreactor călătoreşte mai repede decât sunetul.
- Detalii
- de: Mălina Iorga
- Concepte explicate în 60 de secunde
Particulele virtuale sunt particule cu o durata scurtă de viaţă, ce nu pot fi detectate în mod direct, însă care afectează unele cantităţi fizice - cum ar fi masa unei particule sau forţa electrică dintre două particule încărcate electric - într-o manieră cuantificabilă prin măsurători.
- Detalii
- de: Mălina Iorga
- Concepte explicate în 60 de secunde
Ne întoarcem cu matematica transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm două scurte probleme cu beţe de chibrit, în care autorul vă invită să rezolvaţi două calcule aparent simple, mutând un singur băţ. Ca de obicei, vă oferim şi soluţia în josul paginii.
- Detalii
- de: Petre Rău
- Matematica
Cui nu-i place un wallpaper elegant pe ecranul monitorului?. Astăzi vă recomandăm un site de unde puteţi prelua în mod gratuit imagini superbe. Site-ul dispune de o tehnologie care permite livrarea unui wallpaper "calibrat" pentru computerul dumneavoastră.
- Detalii
- de: Iosif A.
- Diverse
O nouă problemă-poezie. De data aceasta vă prezentăm o problemă interesantă având ca subiect firele de păr de pe capul... gălăţenilor. Dacă sunteţi din Galaţi, trebuie musai să vedeţi despre ce e vorba. Dacă nu, curiozitatea nu vă va lăsa pasivi.
- Detalii
- de: Petre Rău
- Matematica
Supermatematica s-a născut din efortul milenar şi disperat al omului de-a modela lumea aşa cum este ea: complexă şi neliniară, nu liniară şi simplistă. Supermatematica este împlinirea visul matematicienilor de-a avea o infinitate de matematici şi de-a opera cât mai simplu cu ele.
- Detalii
- de: Mircea Eugen Selariu
- Matematica
O nouă problemă-poezie, de data aceasta despre un melc rătăcit într-o fântână, care doreşte - habar nu avem de ce :) - să ajungă la lumină. Ca de obicei, puteţi să vă stoarceţi creierii în tihnă pentru a rezolva problema, dar dacă nu merge, aveţi răspunsul în partea de jos.
- Detalii
- de: Petre Rău
- Matematica
Iată o metodă interesantă de a face matematica atractivă şi distractivă, prin intermediul poeziei. Începând de astăzi vă vom oferi regulat o serie de poezii scrise de matematicianul şi scriitorul Petre Rău. Prima poezie este despre paradoxul lui Zenon.
- Detalii
- de: Petre Rău
- Matematica
O echipă de cercetători de la IBM Research Zurich a reuşit fotografierea structurii chimice a unei molecule. Înţelegerea structurii moleculare este foarte importantă, mai ales pentru industria nanotehnologiei şi farmaceutică. Studiul a fost publicat în prestigioasa revistă Science.
- Detalii
- de: Răzvan Matache
- Chimie
Experimente realizate de fizicieni de la National Institute of Standards and Technology (NIST), împreună cu colegii lor de la Universitatea din Colorado, au pus în evidenţă reacţii între molecule aflate la temperaturi foarte apropiate de zero absolut.
- Detalii
- de: Răzvan Moldoveanu
- Chimie
Multe din problemele de comutativitate în grupuri, altfel delicate, se rezolvă mai uşor dacă ţinem seama de structura algebrică de subgrup a centrului unui grup.
Manevrele posibile ale unui cub Rubik formează un grup
Credit imagine: Wikimedia Commons
Definiţie: Fie {tex}(G,\cdot ){/tex} un grup şi {tex}X\subset G{/tex} o submulţime a sa. Mulţimea {tex}Z(X)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in X\}{/tex} se numeşte centralizatorul mulţimii X.
Definiţie: Mulţimea {tex}Z(G)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in G\}{/tex} se numeşte centrul grupului G.
Propoziţie: Pentru orice mulţime {tex}X\subset G,(Z(X),\cdot ){/tex} este subgrup al grupului {tex}(g,\cdot ){/tex}.
Dacă {tex}g_1,g_2\in Z(X){/tex} avem {tex}(g_1g_2)x=g_1(g_2x)=g_1(xg_2)=(g_1x)g_2=x(g_1g_2){/tex} deci {tex}g_1g_2\in Z(X){/tex}.
Din {tex}g_1x=xg_1{/tex} rezultă {tex}xg_1^{-1}=g_1^{-1}x{/tex} deci {tex}g_1^{-1}\in Z(X){/tex}.
Observaţie: Subgrupul {tex}Z(X){/tex} este format din elementele lui G care comută cu toate elementele mulţimii X.
Definiţie: Mulţimea {tex}N(X)=\{g\in G|gX=Xg\}{/tex} se numeşte normalizatorul mulţimii X.
Propoziţie: Pentru orice submulţime {tex}X\subset G{/tex}, normalizatorul {tex}(N(X),\cdot ){/tex} este subgrup al grupului {tex}(G,\cdot ){/tex}. (Demonstraţia se face analog cu cea de la centrul grupului)
Consecinţe:
1. {tex}Z(X){/tex} este subgrup al lui {tex}N(X){/tex}
2. Dacă H este subgrup al lui G, atunci H este subgrup al lui N(H).
3. Fie {tex}(G,\cdot ){/tex} un grup şi {tex}n,p\in Z{/tex}. Notăm cu {tex}(n,p)=1{/tex}. Dacă {tex}\forall x\in G{/tex} şi {tex}x^n\in Z(G){/tex} şi {tex}x^p\in Z(G){/tex}, atunci {tex}(G,\cdot ){/tex} este grup abelian.
Bibliografie: G.M. 4-5/1990.
- Detalii
- de: Adrian Olteanu
- Matematica
În cele ce urmează vă prezentăm formulele mediilor aritmetică, geometrică, pătratică şi armonică a n numere.
Formula mediei aritmetice a n numere
{tex}\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}{/tex}
Formula mediei geometrice a n numere
{tex}\displaystyle \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n}{/tex}
Formula mediei pătratice a n numere
{tex}\sqrt {\dfrac {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .. + {a_n}^2}{n}}{/tex}
Formula mediei armonice a n numere
{tex}\dfrac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac {1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}}{/tex}
- Detalii
- de: Adrian Buzatu
- Matematica
În articolul următor vă prezentăm formulele ariei, lungimii şi, după caz, volumului unor figuri geometrice uzuale: cerc, con, cilindru şi sferă.
Aria cercului de rază R:
{tex}A = \pi R^2{/tex}
Lungimea cercului de rază R:
{tex}L = 2 \pi R{/tex}
Aria laterală a conului de rază r şi înălţime h:
{tex}S=\pi r\sqrt{r^2+h^2}{/tex}
Aria bazei conului de rază r şi înălţime h:
{tex}S=\pi r^2{/tex}
Volumul conului de rază r şi înălţime h:
{tex}V=\frac{\pi r^2\cdot h}{3}{/tex}
Aria cilindrului de rază r şi înălţime h (cele două baze + laterală):
{tex}S=2\pi r^2 + 2\pi r \cdot h{/tex}
Volumul cilindrului de rază r şi înălţime h:
{tex}V=2\pi r^2}\cdot h{/tex}
Aria sferei de rază r:
{tex}S=4\pi r^2{/tex}
Volumul sferei de rază r:
{tex}V=\frac{4\pi r^3}{3}{/tex}
- Detalii
- de: Adrian Buzatu
- Matematica
Pornind de la un articol anterior - Introducere în inducția matematică - vom enumera în continuare câteva aplicaţii ale inducţiei matematice, cât şi modul lor de demonstrare. Astfel, veţi putea realiza felul în care metoda trebuie aplicată, cât şi genul de probleme la care se aplică.
credit: http://math.njit.edu
Suport teoretic pentru principiul inducţiei matematice
Pentru a vă revizui cunoştinţele teoretice legate de inducția matematică, vă sugerăm să citiţi: Introducere în inducția matematică.
Exercițiul 1
Un exemplu simplu ar fi problema următoare:
Demonstraţi că: {tex}P(n) : 1+2+3+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}{/tex} pentru orice n - număr natural nenul.
Vom rezolva acestă problemă fără a apela la principiul lui Gauss.
Rezolvarea este prezentată în continuare:
Vom demonstra problema dată folosind metoda inducţiei matematice. Astfel, vom verifica cele 2 etape:
- etapa de verificare: luăm n-minim, adică {tex}n=1{/tex}.
Avem {tex}P(1) : 1= \frac{1 \cdot 2}{2}{/tex} - propoziţie adevărată. Deci etapa de verificare a fost realizată.
- etapa de demonstraţie: trebuie să demonstrăm că dacă {tex}P(n){/tex} este adevărată, atunci {tex}P(n+1){/tex} este adevărată.
Avem:
{tex}1+2+3+...+n+(n+1) = (1+2+3+...+n)+(n+1)=\frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) =\frac{n \cdot (n+1) + 2 \cdot (n+1)}{2} =\frac{(n+2) \cdot (n+1)}{2}{/tex}
Astfel avem demonstrată propoziţia {tex}P(n+1){/tex}.
Deci și etapa de demonstrație a fost finalizată.
Folosind metoda inducţiei matematice am demonstrat că: {tex}P(n) : 1+2+3+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}{/tex} pentru orice n - număr natural nenul.
Exercițiul 2
De asemenea, mai putem da ca și exemplu problema următoare:
Să se demonstreze că pentru orice {tex}n \geq 1{/tex}, n - număr natural, avem:
{tex}1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}{/tex}.
Demonstrație:
Notăm cu {tex}P(n){/tex} egalitatea de mai sus, pentru numărul n.
Vom demonstra problema folosind metoda inducției matematice. Deci, vom verifica cele două etape:
- etapa de verificare:
Alegem n-minim, adică {tex}n=1{/tex}. Astfel, egalitatea dată devine {tex}1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{/tex}. Deci {tex}P(1){/tex} este adevărată. Astfel, etapa de verificare este demonstrată.
- etapa de demonstrație:
Demonstrăm că dacă {tex}P(k){/tex} este adevărată, atunci {tex}P(k+1){/tex} este adevărată.
{tex}P(k): 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + ... + \frac{1}{2k}{/tex}
{tex}P(k+1): 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + ... + \frac{1}{2(k+1)}{/tex}
Scăzând membru cu membru egalităţile de mai sus (prima egalitate dintr-a doua ), obţinem egalitatea:
{tex}\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}{/tex}
Dar aceasta este evident adevărată.
Astfel, cum {tex}P(k){/tex} este adevărată şi propoziţia de mai sus este şi aceasta adevărată, atunci şi {tex}P(k+1){/tex} este adevărată.
Aşadar, etapa de demonstraţie a fost realizată.
Conform metodei inducţiei matematice avem:
{tex}1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}{/tex} pentru orice {tex}n \geq 1{/tex}, n - număr natural.
Exercițiul 3
Majoritatea problemelor care se rezolvă prin metoda inducţiei matematice nu ne indică formula generală ce trebuie demonstrată. În acele cazuri, trebuie sa verificăm ceea ce ni se dă pentru câteva valori particulare, iar apoi să observăm formula generală. O astfel de problemă este următoarea:
Să se calculeze suma: {tex}\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n \cdot (n+1)}{/tex} pentru orice n - număr natural {tex}n \geq 1{/tex}.
Demonstraţie:
Notăm suma de mai sus cu {tex}S(n){/tex}. Ca să obţinem expresia generală, vom verifica mai întâi câteva cazuri particulare, adică {tex}n=1, n=2, n=3{/tex} şi obţinem:
{tex}S(1) = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}{/tex}
{tex}S(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac {1}{6} = \frac {4}{6} = \frac {2}{3}{/tex}
{tex}S(3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{2} + \frac {1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}{/tex}
Observând sumele de mai sus constatăm că {tex}S(n) = \frac{n}{n+1}{/tex}.
Astfel că am ajuns la etapa în care am intuit o expresie generală, şi vom încerca să o demonstrăm prin metoda inducţiei matematice.
Lăsăm restul rezolvării problemei ca şi exerciţiu în care să aplicaţi raţionamentul inducţiei matematice.
Articol scris pe baza unor manuale de matematică de clasa a IX-a.
- Detalii
- de: Tiberiu Puican
- Matematica
Inducţia matematică reprezintă un procedeu ce poate fi folosit în cadrul rezolvării unor probleme de algebră. Prin aceasta se înţelege o metodă de raţionament care conduce de la propoziţii particulare la o oarecare propoziţie generală. Aşa cum este prezentată în majoritatea manualelor şcolare, se lasă o falsă impresie cum că aceasta ar fi folosită numai pentru demonstrarea unor formule date. Însă inducţia poate fi folosită pentru rezolvarea unor probleme cu rezultat mult mai complex, a căror soluţionare ar fi mult mai grea dacă nu am utiliza această metodă.
credit: http://math.njit.edu
Principiul inducţiei matematice
Principiul pe care se bazează inducţia matematică este:
Fie {tex}P(n){/tex} o propoziţie care depinde de un număr natural {tex}n \geq m{/tex}, m fiind un număr natural fixat. Demonstraţia prin metoda inducţiei matematice a propoziţiei {tex}P(n){/tex}, constă din două etape:
1. Se verifică mai întâi că {tex}P(m){/tex} este adevărată.
2. Se presupune că {tex}P(k){/tex} este adevărată şi se demonstrează că {tex}P(k+1){/tex} este adevărată, k fiind un număr natural mai mare sau egal cu m (adică {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex} , {tex}k \geq m{/tex} ).
Dacă ambele etape ale demonstraţiei sunt verificate, atunci propoziţia {tex}P(n){/tex} este adevărată pentru orice număr natural {tex}n \geq m{/tex} .
Intuitiv, această metodă de demonstraţie se justifică astfel:
Din {tex}P(m){/tex} adevărată şi {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex}, pentru orice {tex}k \geq m{/tex}, rezultă că {tex}P(m+1){/tex} este adevărată (unde {tex}k=m{/tex} ); apoi, luând {tex}k=m+1{/tex} se obţine că {tex}$ P(m+2) ${/tex} este adevărată, şi aşa mai departe. Raţionând "din aproape în aproape" deducem că propoziţia {tex}P(n){/tex} este adevărată pentru orice număr natural {tex}n \geq m{/tex} .
Metoda inducţiei matematice ne arată că dacă {tex}P(1){/tex} este adevărată (pentru {tex}m=1{/tex}), şi din {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex}, pentru {tex}k \geq 1{/tex}, unde k este număr natural, avem că {tex}P(k){/tex} este adevărat pentru orice k număr natural.
Câteva aplicaţii rezolvate puteţi găsi în cadrul articolului: Inducţia matematică - Aplicaţii.
Articol scris pe baza unor manuale de matematică de clasa a IX-a.
- Detalii
- de: Tiberiu Puican
- Matematica
