Scientia QA - Intrebari recente cu tag-ul statistică

Măsurarea numărului pi cu Monte Carlo

Tue, 08 Dec 2015 15:23:34 +0000

Presupun că știți deja că numărul π poate fi măsurat printr-o metodă statistică astfel: desenăm o țintă sub forma unui cerc înscris într-un pătrat și aruncăm cu săgeți spre țintă în așa fel încît în interiorul pătratului distribuția înțepăturilor să fie uniformă. Atunci raportul dintre numărul de înțepături care au intrat în cerc și numărul total de înțepături din pătrat este aproximativ egal cu π/4, de unde îl putem calcula pe π. Cînd spun „aproximativ” mă refer la faptul că dacă numărul total de înțepături e mic, atunci fluctuațiile statistice sînt mari și deci precizia cu care îl măsurăm pe π e proastă.

Întrebarea este: de cîte ori trebuie să aruncăm cu săgeata pentru ca eroarea cu care îl măsurăm pe π să fie sub 0,1 cu o confidență de 90%?

Confidența de 90% este o probabilitate, și anume probabilitatea ca, dacă repetăm de foarte multe ori seria de aruncări, la 90% dintre serii valoarea găsită a lui π va avea o eroare mai mică decît limita stabilită.

Uniformitatea de care vorbeam e perfectă și întregul experiment decurge exact ca în enunț. Astfel, singura problemă e de ordin matematic, nu fizic.

Paradoxul zarurilor

Wed, 25 Nov 2015 08:27:00 +0000

Avem trei zaruri: A, B, C. Forma lor e de zar obișnuit, cubic, dar în timp ce un zar normal are desenate pe fețe 1, 2, 3, 4, 5, 6 buline, zarurile noastre sînt după cum urmează:

- zarul A are 3, 3, 3, 3, 3, 6 buline,
- zarul B are 2, 2, 2, 5, 5, 5 buline,
- zarul C are 1, 4, 4, 4, 4, 4 buline.

Doi jucători au fiecare cîte un zar dintre A, B și C. Aruncă zarul amîndoi, iar jucătorul al cărui zar are mai multe buline pe fața de sus primește un punct. Aruncările se repetă de un număr mare de ori și punctele se adună. Jocul e cîștigat de jucătorul care are cele mai multe puncte, adică de jucătorul care avea de la bun început cele mai mari șanse să cîștige.

Ce zar trebuie să aibă un jucător pentru a cîștiga?

Statistică la semafor

Wed, 11 Nov 2015 11:24:06 +0000

Deasupra unui semafor pentru pietoni este instalată o cameră de luat vederi, conectată la un calculator. Un program analizează imaginile și, printre alte statistici, ne dă și următoarele informații despre cît au așteptat pietonii la semafor.

- Au fost contorizați 10000 pietoni, dintre care:
- 5212 au așteptat între 0 s și 5 s.
- 1020 au așteptat între 5 s și 10 s.
- 1002 au așteptat între 10 s și 15 s.
- 986 au așteptat între 15 s și 20 s.
- 991 au așteptat între 20 s și 25 s.
- 789 au așteptat între 25 s și 30 s.
- 0 au așteptat mai mult de 30 s.

Presupunem că pietonii ajung la semafor în mod cu totul aleator (distribuție uniformă în timp), că nici un pieton nu traversează pe roșu și că aceia care trebuie să aștepte traversează exact cînd se face semaforul verde.

Puteți deduce cîte secunde durează culoarea verde a semaforului și cîte secunde durează culoarea roșie?

Colecție de numere

Wed, 11 Nov 2015 05:15:41 +0000

Să zicem că avem o colecție mare de numere care reprezintă mărimi foarte diverse distribuite pe multe ordine de mărime, de exemplu prețuri de la foarte mici la foarte mari, lungimi de drumuri mai scurte sau mai lungi, recolte agricole de la mici producători la mari ferme, tensiuni electrice de tot felul, constante matematice și fizice etc.

Ne uităm la aceste numere și luăm numai prima cifră semnificativă din fiecare (dintr-un număr ca 0,02 prima cifră semnificativă e 2). Obținem astfel o anumită distribuție a cifrelor de la 1 la 9. Diversitatea colecției noastre de mărimi e așa mare încît și dacă le schimbăm unitățile de măsură pînă la urmă distribuția celor 9 cifre rămîne aceeași.

Observăm un lucru interesant. Ne-am aștepta, de exemplu, ca numerele care încep cu cifra 1 să fie circa 1/9 din total, adică vreo 11%. Dar de fapt constatăm că ele reprezintă circa 30%. Cele care încep cu cifra 2 reprezintă vreo 18% și așa mai departe, pînă la cele care încep cu un 9 și reprezintă sub 5%.

Fenomenul a fost observat acum cîteva secole, cînd pentru calcule cu înmulțiri se foloseau tabele cu logaritmi. Calculatorii au remarcat că paginile de la începutul cărților cu tabele de logaritmi se uzau mai repede decît cele de la sfîrșit, pentru că se întîmpla mai des să caute logaritmii numerelor care încep cu 1 sau 2 decît ai celor care încep cu 8 sau 9.

Apoi fenomenul a fost redescoperit cînd cineva a observat că în ziare sînt mai multe numere care încep cu 1 decît cele care încep cu 9 (a exclus numerele cu distribuții înguste, de exemplu anii).

Întrebarea este: de ce cifrele mai mici sînt mai bine reprezentate decît cele mari? Și care ar fi formula cu care putem calcula aceste fracțiuni? Formula ne-ar putea chiar ajuta să generalizăm: care e fracțiunea numerelor care încep, de exemplu, cu cifrele 27 sau 608?

Probabilități mici în grupuri mari

Mon, 09 Sep 2013 09:37:39 +0000

1. Probabilitatea ca un om să fie stîngaci e de circa 10%. Atunci într-o grupă de 10 elevi care e probabilitatea ca cel puțin unul să fie stîngaci? Presupunem că elevii nu au fost aleși anume după cum își folosesc mîinile.

2. Probabilitatea ca un bărbat să aibă o formă oarecare de daltonism (percepție deficientă a culorilor) e de circa 10%. Într-un pluton de 20 de soldați care e probabilitatea ca cel puțin unul să aibă daltonism? Din nou, soldații nu au fost selectați după perceperea culorilor.

3. Probabilitatea ca un om să fie homosexual e de circa 10%. Atunci dintr-o echipă de fotbal cu 30 de membri (includem rezervele), care e probabilitatea ca cel puțin unul să fie homosexual? Tot așa, nu s-au făcut alegeri intenționate.

Încercați mai întîi să ghiciți răspunsurile și abia apoi faceți calculul și verificați-vă intuiția.

Bonus. Acum gîndiți-vă cam cîți oameni cunoașteți binișor, în total: rude apropiate, prieteni, colegi de școală sau de serviciu, vecini etc. Calculați care e probabilitatea ca cel puțin unul din ei să fie stîngaci, daltonist sau homosexual, sau calculați cam cîți dintre ei ar trebui să fie așa. Comparați cu ceea ce știți efectiv despre ei.

Timpul mediu de așteptare la semafor

Fri, 09 Nov 2012 15:36:35 +0000

Un pieton ajunge în fiecare dimineață la același semafor. Dacă e verde, trece imediat; dacă e roșu, așteaptă, iar cînd semaforul se face verde trece. Știm că semaforul își schimbă culoarea periodic: 40 s este verde și 60 s este roșu (cele două durate le notăm cu tv și respectiv tr). Mai știm și că momentul sosirii pietonului este total aleator, adică deloc corelat cu faza semaforului. Se cere să se calculeze timpul mediu de așteptare, dacă experimentul se efectuează de un număr foarte mare de ori.

Se dă și soluția: 18 s. Întrebarea este: cum calculăm și care este formula generală în funcție de tv și tr?

Problema este în legătură directă cu cea de aici. O reiau separat pentru că întrebarea e alta și pentru că am impresia că nivelul de dificultate pentru participanții la QA e ceva mai mare decît am crezut inițial.

Ce ipoteză lipsește?

Tue, 06 Nov 2012 06:08:35 +0000

Profesorul dă o problemă: „În fiecare dimineață traversez strada pe la un semafor. Cînd semaforul e verde, traversez imediat; cînd e roșu, aștept pînă se face verde și atunci traversez. Îmi notez de fiecare dată timpul de așteptare. Știu că semaforul își schimbă culoarea periodic: 40 de secunde verde și 60 de secunde roșu. După foarte multe traversări, care este timpul meu mediu de așteptare la semafor?”

Elevul calculează și dă soluția: „18 secunde.”

Profesorul răspunde: „Soluția ar fi corectă dacă problema ar preciza o anumită ipoteză.”

Ce ipoteză lipsește din problemă?
Care e soluția corectă în lipsa acelei ipoteze?

Și, ca morală valabilă foarte des, mulți citesc și au impresia că au înțeles, dar numai aceia care observă ce lipsește au înțeles cu adevărat.