Scientia QA - Activitate recenta in Matematica

Comentat: Problemă cu patrulater și 4 arii egale

Thu, 26 Mar 2026 07:31:10 +0000

Este interesant că punctul P căutat este simetricul punctului rezultat din intersecția diagonalelor patrulaterului mare fata de mijlocul paralelogramului Varignon..

Aria unui trapez

Wed, 11 Mar 2026 04:55:19 +0000

Fie trapezul dreptunghic ABCD, AB paralelă cu CD, <A = <D = 90, AC perpendiculară pe BD. Dacă AB = 4 cm şi CD = 9 cm, aflaţi aria trapezului ABCD.

Problema de probabilitati si loterie

Sun, 20 Jul 2025 14:54:40 +0000

Am cumparat doua bilete de loterie. Fiecare bilet are o probabilitate de 1/2 sa fie castigator si 1/2 sa nu fie castigator.
Cu toate acestea unul din biletele este necastigator, dar nu mai stiu care din ele. Care e probabilitatea ca desfacand ambele bilete cel putin unul sa fie castigator?

Raspuns: Cum explici cuiva de ce probabilitatea ca atunci cand arunci o moneda de doua ori sa-ti pice pe aceeasi fata e 0.25, ci nu 0.5???

Thu, 13 Feb 2025 18:03:02 +0000

50%....1/2.....ar fi 25% doar daca impui să iasă o ANUMITA fata de 2 ori la rând ( din doar 2 aruncări )..p.s. sorry..nu văzusem răspunsurile anterioare...elaborate și f. clare...deci nu mai e nevoie de răspunsul meu...

Raspuns: 4 triunghiuri de arii egale într-un patrulater

Thu, 13 Feb 2025 18:02:34 +0000

Se pare că punctul căutat ( care unit cu colțurile unui patrulater oarecare să împartă patrulaterul in 4 triunghiuri de arii egale) e posibil sa nu existe . Exista un punct care unit cu cele 4 colțuri formează 4 triunghiuri de arii egale dar acel punct poate exista în unele cazuri doar in afara patrulaterului și astfel Nu împarte patrulaterul in 4 arii egale. Ex: un patrulater cu 3 latura f. mari și o a 4-a latura fi. mică NU are un astfel de punct în interiorul lui. Ar fi interesant (cred) ca cineva( poate un profesor de matematică) să aprofundeze problema : in ce cazuri, etc.

Raspuns selectat: Lungimea unui segment

Wed, 08 May 2024 15:48:45 +0000

AB = BC = AC = BD = 6 ^. = a

AN = AP ; BM = MC = a / 2

Trasăm segmentele DC și BF AC

În triunghiul isoscel BDC segmentul BF este înălțime, mediană și bisectoare, iar DM este mediană. Deci punctul E este centrul de greutate (intersecția medianelor) și este situat la 1/3 de bază și 2/3 de vârf. Adică EF = BF / 3

În triunghiul dreptunghic BFC (cu unghiul BCF = 30⁰) BF = BC / 2 = a / 2 . Deci EF = a / 6

DF² = BD² – BF² = a ² – (a / 2) ² = 3 a ²/ 4

DE² = DF² + EF² = 3 a ²/ 4 + a ²/ 36 = 28 a ²/ 36 = 7 a ²/ 9

DE = (a / 3 ) ^.

În triunghiul ADP segmentul BN este linie mijlocie. Deci BN PE. Și cum BE NP înseamnă că BEPN este paralelogram. Deci BE = NP = AN. Dar cum și AB = BD și unghiurile BAN și DBE sunt egale, atunci triunghiurile BAN și DBE sunt egale. Deci:

DE = BN = (a / 3) ^. = 2 ^.

Am mai găsit două soluții, dar și ele sunt bazate pe teorema lui Pitagora. Ar fi interesantă o rezolvare fără această teoremă. De exemplu doar pe baza asemănării triunghiurilor. Totuși pare puțin probabilă datorită acelui

Raspuns selectat: O meserie pe cale de dispariție?

Tue, 18 Jan 2022 18:38:32 +0000

1. "Muncitorește":

Circuit	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Scrisori inițial în geantă	256	192	144	108	81	61	46	34	26	19	15	11	8	6	5	3	3	2	1	1	1	1
Scrisori predate	64	48	36	27	20	15	12	8	7	4	4	3	2	1	2	0	1	1	0	0	0	1

În total sunt 22 de circuite, statul trebuie să-i dea 220 lei. Cu o distanță minimă de 10 metri între case, 22 x 10m x 256 = 56 km. Nu-i de mirare că poștașii sunt pe cale de dispariție.

2. Aproape "muncitorește": Primul circuit are k³ case disponibile, în al doilea circuit rămân k³ - k² = k²(k - 1), iar cel de-al treilea circuit are la dispoziție k²(k - 1) - k(k - 1) = k(k - 1)². La finalul acestuia și începutul noului ciclu de 3 circuite rămân nemarcate k(k - 1)² - (k - 1)² = (k - 1)³. Noul ciclu pornește cu (k - 1)³ si se va termina cu (k - 2)³. Toate ciclurile încep cu puterea a treia a pasului lor corespunzător. Numărul de case disponibile în fiecare circuit din oricare set este un multiplu al factorului specific de selecție k, deci ultima casă disponibilă va fi mereu marcată și numărătoarea de eliminare se va relua întotdeauna de la casa nr. 1 făcând ca aceasta să fie "staționară" și bifată doar în ultimul circuit, cel de 1.

Comentariu editat: Spionaj și geometrie

Thu, 23 Dec 2021 15:26:11 +0000

O creionare a unui posibil răspuns.

O abordare eficientă a problemei mi s-a părut aceea de a stabili pentru fiecare înclinație a acoperișurilor de interes, sau a razelor solare, o corespondență între un milimetru, măsurat pe imagine, și diferența de înălțime corespunzătoare (în metri) pe teren. Apoi prin simpla măsurare a unor dimensiuni și înmulțirea lor cu corespondentul de pe teren se obțin înălțimile dorite.

O primă exemplificare este a umbrelor din imagine.

Având în vedere că razele soarelui se pot considera paralele, atunci orice punct din imagine va avea umbra după direcția SS₁. Deci punctul M are umbra în punctul M₁ (MM₁ paralelă cu SS₁₎. La dimensiunea imaginii pe care am avut-o la dispoziție am măsurat MM₁ = 10 mm. Deci la dimensiunea umbrei de 10 mm, pe imagine, avem o diferență de nivel între M și sol, în teren, de 2 m (înălțimea mașinii). Adică la 1 mm, pe imagine, îi corespunde o diferență de nivel de 2/10 = 0,2 m, în teren (1mm → 0,2 m). Acum măsurăm SS₁= 26 mm. Deci înălțimea punctului S față de sol este: H_S= 26 x 0,2m = 5,2 m.

Următoarea etapă: din umbra încercuită cu albastru se deduce panta acoperișului 1. Corespondența în acest caz este: 1mm → 0,0455 m.

În continuare din umbra încercuită cu verde se arată că panta acoperișului 1a este aceeași cu cea a acoperișului 1. Deci acoperișul 1a este în prelungirea acoperișului 1.

Mai departe, din zona marcată cu violet (mai precis din îmbinarea celor două acoperișuri: 1 și 2) se deduce panta acoperișului 2. Conform măsurătorilor făcute de mine pe poză am dedus: 1mm → (2,5 / 3,5) x 0,0455 m adică: 1mm → 0,0325 m.

Din zona încercuită cu galben (mai precis din paralelismul marginii acoperișului 3 și umbra ei de pe acoperișul 2) se deduce că cele două acoperișuri, 2 și 3, au aceeași pantă. Deci și în cazul acoperișului 3 avem corespondența: 1mm → 0,0325 m.

Acum, având aceste corespondențe, se pot rapid calcula cele două înălțimi de interes, având dimensiunile măsurate pe poză, conform imaginii de mai jos:

H₁_a = 26 x 0,2 + 67 x 0,0455 + 1,5 x 0,2 = 8,55 m

H₃ = 26 x 0,2 + 26 x 0,0455 + 7,3 x 0,2 + 19,5 x 0,0325 = 8,47 m

Trebuie să menționez că aceste calcule le-am făcut pe baza ipotezei unei oarecare simetrii a clădirii. În realitate, la o analiză mai atentă se constată că nu este chiar așa. De exemplu părțile laterale ale clădirii (stânga și dreapta) nu sunt perfect perpendiculare pe axa părții centrale a clădirii. De asemenea marginea acoperișului 3, marcată cu o linie galbenă, nu este exact perpendiculară pe axa longitudinală a acoperișului. Interesant că ambele asimetrii duc la o creștere (desigur destul de mică) a ambelor înălțimi calculate, deci s-ar putea ca în realitate H₃ să fie totuși ceva mai mare decât H₁_a !

Interesant, dar în alt sens, este și răspunsul la chestiunea suplimentară, pe care o las totuși deocamdată deschisă.

Comentat: Care este probabilitatea de a extrage o bila alba?

Fri, 27 Aug 2021 06:55:00 +0000

Mulțumesc, Gheorghița, pentru lămuriri. Sunt de acord că soluția lui Quark este și corectă, și elegantă.

Comentariu editat: Dintr-un esantion de 21 de persoane care e probabilitatea ca 5 din ei sa aiba aceeasi zodie.

Sat, 21 Aug 2021 14:56:41 +0000

Am gasit un exemplu de calcul al probabilitatilor pe Forumul Scientia:

https://forum.scientia.ro/index.php/topic,4176.0.html

Impulsionat de acest exemplu o sa incerc sa rezolv si problema propusa, si problema ochioasa :)

Comentat: Rezolvarea unei inecuații.

Sat, 21 Aug 2021 14:20:29 +0000

De principiu multimea numerelor complexe nu prea functioneaza inegalitatile.,doar daca expresia din stanga consideri doar partea reala.

Exista o relatie de ordine pe multimea numerelor complexe dar nu este relevanta.Numere complexe creaza un corp care se inchide adica orice polinom are radacini in C si mai au aspectul geometric de puncte a unui plan.

Comentat: Cum explic unui copil de clasa a 6 a ca -*-=+

Sun, 04 Jul 2021 16:37:11 +0000

-2*5 înseamnă datorie în valoare de 2 lei pentru fiecare din cei 5 prieteni, adică datoria mea de 10 lei, notată - 10.
-2*(-5) este datorie în valoare de 2 lei pentru fiecare din cei 5 prieteni de pe Pluto. Dar eu știu că n-am prieteni plutonieni, pot chiar să demonstrez că n-am avut contact cu vreun extrarestru de pe Pluto. Exclus să fiu datoare cu 10 lei nu știu căror plutonieni. Așadar 10 lei ai mei nu sunt datorie și notez, indiferent de zvonuri că - 2*(-5)=+10. Banii sunt ai mei și nu sunt datoare vreunui plutonian.

Sa se calculeze

Mon, 28 Jun 2021 16:41:26 +0000

y (x+y-z+2)dl unde y este segmentul AB,A(0,1,1) la B(1,0,1)

Raspuns selectat: Cum demonstrăm că aceste drepte sunt paralele

Sun, 07 Feb 2021 10:36:53 +0000

https://i.imgur.com/QJL0KPE.png

Conform reciprocei teoremei lui Thales aplicată în triunghiurile MGE și MFH, dreptele GE și HF sunt paralele.

Raspuns: Stie cineva sa rezolve prin metode statistice aceaste probleme ?

Sat, 06 Feb 2021 16:18:12 +0000

Nu știu să le rezolv cu metode statistice dar le pot aborda folosind o formulă de bază în teoria probabilităților, și anume, probabilitatea realizării unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. În plus, dacă două evenimente sunt independente atunci probabilitatea realizării ambelor este egală cu produsul probabilităților celor două evenimente.

I. 1. P(B - verde) = 4/9. P(A - albă) = 3/5. P(B - verde și A - albă) = (4/9) * (3/5) = 4/15
2. Bila comună celor două cutii este cea albastră. P(A - albastră) = 2/5. P(B - albastră) = 5/9. P(albastră) = (2/5) * (5/9) = 2/9

II. Dacă P(A) este probabilitatea realizării evenimentului A atunci evenimentul opus, cel al nerealizării lui A, are probabilitatea P(not A) = 1 - P(A).
   1. P(not Chris) = 1 - 1/6 = 5/6. P(not Albert) = 1 - 1/8 = 7/8. P(not John) = 1 - 1/3 = 2/3. P = P(not Chris) * P(not Albert) * P(not John) = (5/6) * (7/8) * (2/3) = 35/72
   2. Opusul evenimentului "cel puțin unul dintre ei rezolvă problema" este evenimentul "niciunul dintre ei nu rezolvă problema". Deci, probabilitatea este 1 - P = 1 - 35/72 = 37/72
   3. P = P(Chris) * P(not Albert) * P(not John) + P(not Chris) * P(Albert) * P(not John) + P(not Chris) * P(not Albert) * P(John) = (1/6) * (7/8) * (2/3) + (5/6) * (1/8) * (2/3) + (5/6) * (7/8) * (1/3) = 13/36

Comentat: O problemă interesantă de clasa a V-a

Thu, 19 Nov 2020 03:40:52 +0000

Nu se specifică nicăieri că trebuie rezolvată doar cu matematica de clasa a V-a. Nici teorema lui Pitagora nu se cere demonstrată cu cele știute în acele vremuri.

Raspuns selectat: Subiect de Olimpiadă (Matematică)

Sun, 25 Oct 2020 13:29:40 +0000

Varfurile A,B,D formeaza un triunghi echulateral

Varful C se afla pe cercul cu centrul in A si care trece prin B si D

(<DAB) este unghi la centru

m(BD)=m(<DAB)=60⁰

(<BCD) este unghi inscris in acest cerc

m(<BCD)=m(DB)/2=(360⁰-m(BD))/2=150⁰

Comentariu editat: Geometrie în spațiu cu piese domino.

Fri, 23 Oct 2020 15:29:55 +0000

Mă bucur nespus că a mers cineva cu calculele până la capăt.

Singura observație e că:

- 2 x 2, 8 x 1, 4 x 3 = 189

- 6 x 1, 4 x 3, 9 x 2 = 70

Suma lor este 259, la fel ca 210 + 49.

Oricum este o chestie de amănunt, am putea spune nesemnificativ din perspectiva mersului logic al rezolvării problemei. Felicitări.

Ideea problemei mi-a venit de la o întrebare, mediatizată intens pe net: câte pătrate sunt pe o tablă de șah? M-am gândit să o scot din plan în spațiu, în plus cu capcana: 1cm x 2cm x 3cm. Ideea poate fi dusă și mai departe într-un spațiu cu patru dimensiuni și piesa domino 1cm x 2cm x 3cm x 4cm. În loc de 6 variante apar 24 variante, rezolvabile totuși (dar cu răbdare de chinez bătrân). Dar, totuși, complexitatea soluției ar umbri simplitatea ideii.

Am atașat și o soluție imaginară (adică în imagine) (aici).

Raspuns selectat: Câte cubulețe intersectează acest plan? (Largisimo)

Sun, 11 Oct 2020 16:24:44 +0000

1. Partea de geometrie analitică
Alegând originea axelor într-un vârf al feței de jos a cubului, ecuația planului P care trece prin mijlocul diagonalei, punct de coordonate (n/2, n/2, n/2), și având normala la el vectorul (1, 1, 1) este 1*(x - n/2) + 1*(y - n/2) + 1*(z - n/2) = 0 => x + y + z = 3n/2.
Alegem un cubuleț oarecare având vârfurile diagonalei paralele cu diagonala cubului mare de coordonate (x₁, y₁, z₁) și (x₁ + 1, y₁ + 1, z₁ + 1). Planul P(x₁) paralel cu planul P și care trece prin x₁ este descris de (x - x₁) + (y - y₁) + (z - z₁) = 0 => x + y + z = x₁ + y₁ + z_1.
Planul P(x₁+1) paralel cu planul P și care trece prin x₁ + 1 este descris de (x - x₁ - 1) + (y - y₁ - 1) + (z - z₁ - 1) = 0 => x + y + z = x₁ + y₁ + z₁ + 3.
Condiția ca acest cubuleț să fie intersectat este ca planul P să fie între P(x₁) și P(x₁+1), adică distanțele de la origine la planuri să fie în relația D(x₁) < D < D(x₁+1).
Formula distanței dintre un punct (x₀, y₀, z₀) și un plan ( ax + by + cz + d = 0) este :
Relația distanțelor devine . Rezultă că
răspunsul la întrebare este dat de numărul seturilor de numere întregi (x, y, z) din intervalul 0...(n-1) care satisfac inegalitatea x + y + z < 3n/2 < x + y + z +3.

2. Partea de algebră
Inegalitatea ne spune că suma x + y + z poate avea doar valorile [3n/2], [3n/2] - 1 și [3n/2] - 2, n fiind impar. Notez [3n/2] = s
Fiecărei variabile din cele 3 îi asociem un polinom de forma t⁰ + t¹ +t² + ... + t^n-1 în care puterile lui t reprezintă posibilele valori ale variabilei. Dacă facem produsul acestor polinoame atunci coeficientul termenului t^k va reprezenta numărul de moduri în care se poate scrie suma x + y + z astfel încât x + y + z = k.
(1 + t + t² + ... + t^n-1)*(1 + t + t² + ... + t^n-1)*(1 + t + t² + ... + t^n-1) =
(1 + t + t² + ... + t^n-1)³ = (1 - tⁿ )³/(1 - t)³ = (1 - t³ⁿ + 3t²ⁿ - 3tⁿ)(1 - t)^-3
Seria Taylor a polinomului (1-t)^-n: . Pentru n = 3 obținem

Produsul se scrie . Numai primul și ultimul termen din primul factor pot contribui la formarea puterilor t^s, t^{s - 1} și t^{s - 2}. Facând înmulțirile dăm peste următorii coeficienți:

Numarul cubulețelor este dat de suma C = C_s-2 + C_s-1 + C_s.
Daca n = 2p+1 atunci s = [3(2p +1)/2] = 3p + 1. Desfacând combinările și înlocuind n și s obținem forma finală: C = 9p² + 9p + 1, cu p = (n - 1)/2.

Putem face verificarea pentru n = 3, p = 1 și se confirmă rezultatul indicat, dar nedemonstrat, de la întrebarea afiliată.

Raspuns selectat: Să numărăm nişte beţişoare!

Tue, 06 Oct 2020 03:52:15 +0000

Aplicând formula: 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 și rezolvând ecuația de gr. doi ce rezultă, se poate răspunde rapid la cele două întrebări. Dar cum acestea nu sunt la îndemâna elevilor de cls. V, m-am gândit cum s-ar putea rezolva problema fără acestea. Iată ce mi-a ieșit:
Întrebarea I (o rezolvare destul de pompierească, dar totuși foarte rapidă).
1 + (roșu)
2 (verzi)
3 +
3 (roșii)
6 +
4 (verzi)
10 +
5 (roșii)
15 +
6 (verzi)
21 +
7 (roșii)
28 +
8 (verzi)
36 +
9 (roșii)
45 +
10 (verzi)
55+
11 (roșii)
66 +
12 (verzi)
78 +
13 (roșii)
91+
9 (verzi)
100

Bețișoare roșii: 1+3+5+7+9+11+13 = 49

Bețișoare verzi: 2+4+6+8+10+12+9 = 51

Întrebarea a II a (rezolvare ceva mai elegantă)

Suma de la 1 la 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 +
Suma de la 11 la 20: 1+10+2+10+ ... +10+10=55+10x10 = 155
Suma de la 1 la 20: ........................................................... 210 +
Suma de la 21 la 30: 1+20+2+20+ ... +10+20=55+10x20 = 255
Suma de la 1 la 30: ........................................................... 465 +
Suma de la 31 la 40: 1+30+2+30+ ... +10+30=55+10x30 = 355
Suma de la 1 la 40: ............................................................ 820 +
Suma de la 41 la 50: 1+40+2+40+ ... +10+40=55+10x40 = 455
Suma de la 1 la 50: ........................................................... 1275 +
Suma de la 51 la 60: 1+50+2+50+ ... +10+50=55+10x50 = 555
Suma de la 1 la 60: ................ ......................................... 1830 +
Suma de la 61 la 70: 1+60+2+60+ ... +10+60=55+10x60 = 655
Suma de la 1 la 70: ............ ......... (mai mult decât 2019 !!) 2485

Observând că la așezările cu nr. impar avem bețișoare roșii și la cele cu nr. par verzi, pornim din nou de la 60:

Suma de la 1 la 60: ...... 1830 +
61 (roșii)
Suma de la 1 la 61: ....... 1891 +
62 (verzi)
Suma de la 1 la 62: ........ 1953 +
63 (roșii)
Suma de la 1 la 63: ....... 2016 +
3 (verzi)
2019

Deci bețișorul cu nr. 2019 este verde.

Comentat: Putem deduce la ce distanta de Pământ se afla satelitul care a făcut pozele?

Fri, 25 Sep 2020 22:46:46 +0000

Să luăm un caz foarte simplu: imaginea compusă din pixeli a unui disc alb pe un fond negru. La marginea discului pixelii au valori intermediare între negru și alb. Dacă discul se mișcă chiar și cu o sutime de pixel, acele valori intermediare de pe marginea discului se schimbă într-o măsură măsurabilă: cresc puțin în direcția spre care se mișcă discul și scad puțin în partea opusă. Prin interpretarea luminozității acestor pixeli de la margine se poate calcula poziția centrului discului cu o precizie mult mai bună de 1 px.

La fel se întîmplă în cazul fitării altor date discrete, inclusiv 1-dimensionale, de exemplu poziția unui puls într-un semnal audio. Dacă pulsul ocupă mai multe eșantioane înregistrate, îl putem fita cu o funcție corespunzătoare și afla poziția lui în timp cu o precizie mult mai bună decît perioada eșantioanelor.

Comentat: Cat da un numar ridicat la el insusi?

Tue, 22 Sep 2020 02:34:58 +0000

Se folosește logaritmul în baza 10 deoarece și numărul 2019 este un număr scris în baza 10....Se adaugă 1 deoarece acel logaritm depășește numărul natural 6673...

Comentariu editat: Câte cubulețe intersectează acest plan?

Wed, 09 Sep 2020 17:54:49 +0000

Am făcut o secțiune prin cub după planul dat și iată ce a ieșit:

Raspuns: Un an întreg de zile libere

Sun, 29 Dec 2019 15:47:27 +0000

Nu pricep de ce Puiu si Gheorghita nu au oferit si raspunsul la vremea respectiva, desi pareau ca il cunosc. Poate problema li s-a parut prea simpla...

In fine...

Mie, nu tocmai familiar cu calculul probabilistic, problema mi-a amintit de celebra ”birthday problem” si, ducandu-ma pe pagina respectiva din Wikipedia, am gasit valoarea probabilitatii asociate evenimentului complementar celui descris de AdiJapan, si anume cazul in care din 365 de date de nastere macar 2 coincid (de fapt calculul de acolo este facut plecand tocmai de la ceea ce ne cere AdiJapan sa gasim).

Valoarea de acolo a probabilitatii este: (100 − 1.45×10⁻¹⁵⁵)%

Deci probabilitatea ceruta de problema este (1 minus valoarea de mai sus). Adica 1.45×10⁻¹⁵⁷

Comentariu editat: Divizarea cercului in 17 arce egale cu rigla negradata si compasul.

Thu, 21 Nov 2019 06:24:24 +0000

Asta e o animație de pe Wikipedia, de pe pagina dedicata heptadecagonului, sau cum s-o numi el în romana:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/Regular_Heptadecagon_Inscribed_in_a_Circle.gif

Raspuns: Care este raza cercului mic?

Tue, 19 Nov 2019 10:42:28 +0000

Avem cercurile O_1,O_2,respectiv O₃, cu razele R_1,R_2,R₃si punctele de contact cu tangenta comuna d respectiv,A, B si C.

AB=AC+BC

(R₁+R₂)²=AB²+(R₁-R₂)² ; AB²=4R₁R₂

(R₂+R₃)²=BC²+(R₂-R₃)² ; BC²=4R₂R₃

(R₁+R₃)²=AC+(R₁-R₃)²;AC²=4R₁R₃

4R₁R₂=4R₂R₃+4R₁R₃+4R₃(R₁R₂)^1/2

R₃=R₁R₂/(R₁+R₂+(R₁R₂)^1/2)

In cazul nostru ar fi

R₃=2/(3+2^1/2)

Scrieti toate numerele naturale divizibile cu 4 de forma 1x, x4, 32x, 5x6, 76x0!

Mon, 18 Nov 2019 13:37:05 +0000

Comentariu editat: Putem calcula aria zonei rosii doar cunoscand formulele ariei patratului si cercului?

Wed, 13 Nov 2019 15:22:07 +0000

Am mai aruncat o privire pe figură înainte de a o pune în sertar.
Dacă se desenează din A un sfert de cerc de rază 5, după echivalarea a două mici suprafețe, avem S = Sector1 (o bucățică de cerc) - Sector2 (idem) - Sfert de pătrat. Parcă se apropie ceva, ceva de ceea ce doreați. Un fel de reverse engineering (trișare, mai degrabă) pentru că știam dinainte rezultatul. Uneori procedeul duce la soluții caracterizate apoi drept ingenioase.

Comentariu editat: Aproximare prin fracție

Sun, 10 Nov 2019 17:55:42 +0000

Nu am facut nici program, nici nu am folosit Wolfram ori ceva echivalent. Am mers, intuitiv, pe ideea de a aduce numaratorul la valoarea maxim posibila, si am ajuns astfel la 99/521. Ulterior, pentru fractia de precizie mai mica decat 10^-7, a fost doar o chestiune de tweaking... Si cred ca si de noroc...

Comentariu editat: Stație intermediară

Sat, 26 Oct 2019 06:21:32 +0000

Dacă nu derivată, atunci alt mod de a demonstra că P-ul acela dă traseul cel mai scurt. Eu de cîte ori am făcut probleme din astea am folosit derivate. Sigur, dacă lungimea traseului în funcție de poziția punctului P are o formă simplă, de exemplu parabolă, atunci nu e nevoie de derivare.

Cate tetraedre, avand varfurile comune cu ale unui cub, se pot forma?

Sat, 12 Oct 2019 11:53:12 +0000

Editat: Care sunt divizorii lui -7?

Wed, 28 Aug 2019 14:44:03 +0000

Numere aleatoare cu distribuție normală

Thu, 28 Feb 2019 13:23:36 +0000

O întrebare la care caut ajutor:

Generez un set de n numere aleatoare cu distribuție normală (Gauss) care are media 0 și deviația standard s (să zicem 1). Apoi calculez deviația standard a valorilor din set. Repet operația pentru m seturi și calculez media deviației standard din toate seturile.

Rezultatul este că media găsită pentru deviațiile standard este în general (cu excepția unor fluctuații rare) mai mică decît deviația standard a generatorului de numere aleatoare. E drept, pe măsură ce n devine foarte mare, diferența dintre deviația standard a generatorului și a seturilor generate devine foarte mică.

Ce se întîmplă?

Raspuns: Micul dejun cu matematica,ecuatie in numere intregi

Wed, 06 Feb 2019 17:39:21 +0000

Ecuația se rescrie (a+b)*2018 = 3ab. Cum 3 nu divide 2018 înseamnă că
3 divide (a+b), adică a + b = 3k, k - număr întreg. Din ecuațiile b = 3k - a și ab = 2018k obțin:
Radicalul trebuie să fie întreg:

Din nou radicalul trebuie să fie întreg: Pentru că 2 și 1009 sunt numere prime, ambele numere (t+6m) și (t-6m) sunt o combinație de formaMicșorăm drastic numărul lor observând că dacă am scădea (t+6m) și (t-6m), expresia obținută și formată din puterile lui 2 și 1009 trebuie să fie divizibilă cu 12 = 2²*3. Deducem că și datorită simetriei ne alegem numai cu x = 2 și x = 3. Astfel descompunerile pot fi doar:
Rezolvăm sistemele adunând ecuațiile și se obține
Mergem în sens invers cu calculele:

O soluție mai elegantă poate că există, dar aceasta are avantajul folosirii unei idei simple, accesibilă tuturor, ideea că delta ecuației trebuie să fie pătrat perfect.

Un mic dejun cam greu de ronțăit!

Raspuns: Unghi vizual maxim

Sun, 20 Jan 2019 17:54:06 +0000

Pentru ca triunghiul AO₂B este isoscel, centrul cercului circumscris acestui triunghi, C, se afla pe inaltimea dusa din O₂pe AB. deci dreapta d, paralela cu AB. este tangenta la cerc in O₂.Orice alt punct apartinand dreptei d este exterior cercului, asadar unghiurile AO₁B si AO₃B sunt unghiuri exterioare cercului C Daca notam cu p si q masurile arcelor determinate de intersectia laturilor lor cu acest cerc si cu a masura arcului de cerc corespunzator corzii AB vom avea

mas(AO₂B)=1/2a

mas( AO₁B)=1/2(a-p)

mas( AO₃B)=1/2(a-q)

Cum p si q sunt mai mari ca zero pentru orice punct de pe dreapta d diferit de O₂, ajungem la concluzia ca intr-adevar unghiul AOB este maxim atunci cand triunghiul AOB este isoscel.

Oare e asa de grea problema asta?

Mon, 17 Dec 2018 10:13:00 +0000

Inspirata dintr-o problema de pe youtube.
As vrea sa o aduc la o forma mai realista.

Intre 2 stalpi la 10 m inaltime e suspendat un cablu care coboara pana la inaltimea de 7 m. Stiind ca intre cei 2 stalpi distanta este de 20 m, aflati ce lungime are cablul.

https://www.youtube.com/watch?v=l_ffdarcJiQ

Raspuns: Geometrie și securitate

Sun, 11 Nov 2018 16:49:19 +0000

https://i.imgur.com/LCOdpC5.png

Câteva soluții ar fi:

1. Teorema cosinusului în triunghiul OAB: AB² = OA² + OB² - 2OA*OB*cosAOB => cosAOB = 0.8 și sinAOB = 0.6
cos AOB = OY/OA = y/20 => y = 16
sin AOB = OX/OA = x/20 => x = 12

2. x² + y² = 20²
x² + (y-7)² = 15²
Rezolvăm sistemul și obținem aceleași valori ca mai sus.

3. Formula lui Heron spune că aria unui triunghi cu laturile a, b, c și p semiperimetrul este . Obțin A_AOB = 42
A_AOB = OB*AY/2 = 7*x/2. Egalând ariile se obțin aceleași coordonate.

4. O rezolvare din ochi ar veni din observația că sunt 2 triunghiuri dreptunghice AOX și ABY cu cele două ipotenuze multipli de 5, OA = 5*4 și AB = 5*3. Ne duce gândul la tripletele pitagoreice care sunt multipli ai tripletei primitive (3, 4, 5). Pentru AOX laturile ar trebui să fie de forma 4*(3, 4, 5), iar pentru ABY de forma 3*(3, 4, 5), valori care, într-adevăr, se potrivesc problemei date. Ajută enorm faptul că catetele de 12 pot fi privite ca multiplu de 3 sau ca multiplu de 4. Interesant este că nu mai contează căt mergem spre nord și enunțul ar fi fost mai tare cu "mergem spre nord până când AB = 15".

Pereche de triunghiuri

Sat, 13 Oct 2018 09:09:54 +0000

ABC este un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sînt numere întregi prime între ele. Aria lui este și ea un număr întreg.

DEF este un triunghi isoscel, ale cărui laturi sînt numere întregi.

Triunghiurile ABC și DEF au același perimetru și aceeași arie.

Cerința 1. Găsiți lungimile laturilor lui ABC și DEF.
Cerința 2. Demonstrați că soluția e unică.

(La 1 eu nu știu decît soluția, nu și o cale de găsire. Iar la 2 nu știu nimic.)

Raspuns: Femei și bărbați

Wed, 15 Aug 2018 19:00:13 +0000

Convertim coada într-un șir de biți (”0” pentru persoanele de un sex și ”1” pentru cele de sex opus) și putem constata următoarele:

1) Suma biților dintr-o secvență oarecare de zece biți consecutivi trebuie să fie exact 5 (5*1+5*0).
2) Suma biților dintr-o secvență oarecare de doisprezece biți consecutivi poate avea doar valorile 5 sau 7 (evident, nu e posibil mai puțin de 5, deoarece ea include secvențe de zece, iar 6 ar presupune numere egale de ”0” și ”1”).
3) Orice serie de zece biți consecutivi trebuie urmată de un bit având aceeași valoare cu a primului bit din acea secvență (pt. a se păstra suma 5 a noii serii de zece biți la care s-a trecut). Acest lucru e valabil și pentru orice serie de doisprezece biți consecutivi.
4) Orice serie de zece biți consecutivi trebuie urmată de doi biți identici (încât seria de doisprezece, care se formează, să nu aibă numere egale de ”0” și de ”1”). Ținând cont de 3), constatăm că acest lucru e valabil și pentru orice serie de doisprezece biți consecutivi.

Din 3) și 4) rezultă că o serie oarecare, de 10 sau 12 biți, trebuie urmată, de fapt, doar de biți identici (practic întregul șir, de la un punct încolo, va avea biți identici), dar asta presupune ca seria respectivă să fi început cu biți identici și de același fel cu aceștia. Cum la începutul șirului nu putem avea mai mult de 5 biți identici (altfel, primii zece nu ar mai totaliza 5), rezultă că el are o lungime limitată, având structura 5(0)-5(1)-5(0) sau 5(1)-5(0)-5(1).

În concluzie, coada are cel mult 15 persoane (5f-5b-5f sau 5b-5f-5b).

25 de elemente cu 2 posibilitati fiecare, cate variante a cate 25 pot sa am?

Fri, 13 Jul 2018 09:07:53 +0000

Triunghi echilateral

Tue, 12 Jun 2018 06:13:25 +0000

Aratati ca nu exista triunghi echilateral cu varfurile avand coordonate intregi.

Raspuns: O inegalitate rusească

Sun, 10 Jun 2018 19:53:03 +0000

Partea stângă a inegalității se poate demonstra utilizând inegalitatea Cebâșev (cea pentru două șiruri monoton crescătoare), iar partea dreaptă, pe baza inegalităților triunghiului.

În continuare, vom privi membrul din mijloc (pe care îl notăm cu ) ca fiind suma de produse: și considerăm, fără a restrânge generalitatea, că lungimile laturilor sunt în ordinea . Atunci avem, pe de o parte (unei laturi mai mari i se opune un unghi mai mare) și, pe de altă parte, .

Demonstrație partea stângă:

Inegalitatea lui Cebâșev, aplicată mărimilor din (1) și (2), se va scrie: .

Demonstrație partea dreaptă:

Cum (inegalitatea triunghiului), rezultă . Analog, și . Adunând membru cu membru relațiile (*), (**) și (***), obținem: , care înseamnă .

Raspuns: Bisectoare perpendiculare

Sat, 12 May 2018 06:56:15 +0000

https://i.imgur.com/uGpXPiO.png

Triunghiul NPM determinat de unghiul DPC și bisectoarea unghiului A este isoscel pentru că NMP = MNP:
NMP = A/2 + C (unghi suplementar)
MNP = A/2 + AED (unghi suplementar) = A/2 + C (BCDE este patrulater inscriptibil).
După cum știu elevii din clasele mici, bisectoarea într-un triunghi isoscel este și înălțime.

Dacă unghiul C este obtuz atunci cele doua unghiuri sunt egale cu A/2 + B, poate aici se vede în enunț dorința autorului de a face dintr-o problemă simplă una și mai simplă.

Raspuns: Cum demonstram ca triunghiul POQ este triunghi dreptunghic?

Fri, 20 Apr 2018 19:44:00 +0000

.
VC este perpendiculară pe 2 drepte concurente, DO și DQ, deci este perpendiculară pe orice dreaptă din planul DOQ =>
Cum PO || VC (PO este linie mijlocie in triunghiul VAC) , pentru că o paralelă la o perpendiculară pe un plan este și ea, la rândul ei, perpendiculară pe acel plan.

Dimensiunea muchiei nu are nicio importanță.

Raspuns: 13 puncte pe un cerc

Fri, 06 Apr 2018 20:55:30 +0000

Problema intradevar e data naibi de grea.Ideea a venit destul de greu am incercat principiul cutiilor dar nu functioneaza numarand triunghiurile posibile cele isoscele si cele oarecare cu observatia ca daca alegem 5 puncte nu numaram doar cofiguratia data de cele 5 puncte.Adica daca in cele 5 puncte nu am avea triunghiuri isoscele atunci atunci si rotatiile pe unghi egal cu arcul implica inca 12 configuratii diferite pentru cele 12 rotatii posibile care nu vor determina triunghiuri isoscele,dar nu elimina suficient.

Astfel am abordat altfel problema deoarece intradevar se intrevedea o solutie de modul tratari cazurilor precum ceea a lui Gheorghita dar din pacate nu e si ceea mai placuta .

Demonstratie:

Voi arata ca nu pot gasi 5 puncte astfel incat sa nu avem triunghi isoscel.Alegem arbitrar 2 puncte ,fie A si B in sensul ceasului ,impreuna cu segmentul AB exista 3 puncte care nu pot fi alese din restul ramas si anume mijlocul arcului AB mare sau mic(doar unul din arce admite mijloc unul din cele 13 puncte si anume cel cu numar par de arce determinate de puncte consecutive) si mai sunt 2 puncte unul din stanga si altun in dreapta pe circumferinta la lungime egala de arce.

Ne ramane posibilitatea sa alegem acum un punct din o multime de 8 puncte admisibile,fie C al treilea punct .Segmentele AC si BC elimina si ele fiecare cate 3 puncte cele care nu pot fi alese si vom arata ca ele sunt distincte .

E suficient sa arat ca AC si AB elimina puncte diferite .Cele din stanga si din dreapta au aceeasi lungime cu arcele AC respectiv AB si daca ar fi un punct comun ar insemna ca acel punct cu A determina un arc de lungime egala si cu AC si cu AB absurd deoarece AC si AB nu sunt egale iar mijlocul arcelor asemenator ca idee ar insemna distanta la A si mijloc sa fie agala ceea ce implica AC egal cu AB contradictie.Astfel avem 3 puncte alese A,B si C si nu pot sa aleg 9 puncte care inseamna un total de 12 deci mai ramane doar un punct care pot alege dar am ales numai 4 si automat pentru cel de al cincelea numai am nici o posibilitate.Deci in concluziea in orice submultime de 5 exista un triunghi isoscel.

Ce componență, pe sexe, va avea în viitor populația de zimbri?

Fri, 23 Mar 2018 15:22:27 +0000

Administrația unei rezervații de zimbri ia următoarea decizie:

Femelele vor fi oprite de la naștere dacă și numai dacă nasc femelă.

Presupunînd că, inițial, numărul masculilor este egal cu cel al femelelor, că speranțele de viață ale indivizilor sunt comparabile și că, la o naștere, șansele ca puiul să fie femelă sau mascul sunt egale, care din cele 3 situații sunt mai probabile după mai multe generații?

Încercați și să vă justificați votul?

Raspuns: Cum estimam valoarea numărului PI având la dispoziție 100 de boabe de orez?

Sat, 17 Mar 2018 11:15:02 +0000

Aria cercului de rază R (sa-i zicem A) este PIxR²

Aria patratului de latura 2R (sa-i zicem B) este 4xR²

Raportul dintre B si A este 4/PI. B/A=4/PI -> A/B=PI/4 -> PI=4xA/B

Daca inscriem intr-un patrat un cerc si imprastiem in mod uniform cele 100 de boabe de orez pe toata suprafata patratului, o parte dintre acestea vor fi in interiorul cercului inscris, iar o parte in exteriorul sau (cele 4 colturi ale patratului).

http://exceltipsmonster.files.wordpress.com/2010/05/rice-pi.png

Sa zicem ca din cele 100 de boabe 80 sunt in cerc. Presupunand ca boabele de orez au aproximativ aceeasi suprafata, se ajunge la un raport inter B si A egal cu 100/80 -> A/B=0.8. Daca inmultim cu 4, se ajunge la valoarea aproximativa de 3,2 pentru PI.

Cam asta e, conform link-ului de la bibliografie.

Bibliografie suplimentara:

https://exceltipsmonster.wordpress.com/2010/05/20/the-monte-carlo-way/

Din fosta secțiune Q&A

Raspuns: Functie nesurjectiva

Wed, 21 Feb 2018 17:11:58 +0000

Renunțăm la Bertrand și abordăm problema altfel:

Se observă că pentru fiecare număr de mai sus, numitorul este par și numărătorul este impar. Presupunem că toate numerele armonice H_2,H₃,...,H_k,...,H_n sunt de forma și arătăm că și H_n+1 respectă regula (principiul inducției tari).

Dacă n+1 este par în forma lui H_n+1 apare 2k-1 în loc de 2k+1 și lucrurile se desfășoară la fel.

Dacă un număr este de forma atunci și partea lui fracționară este de forma . Astfel, pentru orice număr de forma din intervalul [0,1) nu există corespondent de forma {H_n} rezultând nesurjectivitatea funcției.

Raspuns: O problema despre partitii

Wed, 07 Feb 2018 12:54:34 +0000

Mici precizări:
O partiție a unei mulțimi reprezintă un grup de submulțimi care nu au niciun element comun dar care reunite formează mulțimea respectivă.
Un exemplu de partiție pentru {1,2,...,8,9} este {1}, {2,3}, {4,5,6,7,8,9}.
Cardinalul unei mulțimi este numărul de elemente al mulțimii.
Daca P(x) = P(y) înseamnă că x și y aparțin aceleiași submulțimi sau se află fiecare, separat, într-o submulțime cu același număr de elemente.

Pasul 1:se arată că în mulțimea M={1, 2,..., 9} există cel puțin 4 elemente cu același P():
- dacă partiția conține o submulțime de cel puțin 4 elemente, concluzia este evidentă
- dacă partiția este formată doar din submulțimi de 1, 2 sau 3 elemente, scriem 9 = a*1+b*2+c*3, a, b, c fiind numărul de submulțimi de 1, 2 și 3 elemente. Se observă că pentru a4 sau b2 sau c2 există 4 elemente cu același P (dacă nu este prea limpede, de exemplu, pentru b=2 avem două submulțimi de câte două elemente, deci 4 elemente cu P=2). Mai rămâne a<4, b=1, c=1, caz exclus pentru că a*1+b*2+c*3 ar fi maxim 8. Pentru a sau/și b sau/și c luând valori nule nu mai insist.
Deci, în mulțimea M există cel puțin 4 elemente cu același P().

Pasul 2: scriind 9 = a*1+b*2+c*3+d*4+....+h*8+i*9 se observă că nu pot exista simultan 4 dintre variabilele a, b,...,i (cazul cel mai favorabil fiind 1*1+1*2+1*3+1*4 = 10 > 9). Concluzia este că numărul maxim de tipuri diferite de submulțimi (submulțimi cu număr diferit de elemente) este de 3.

Punând cap la cap concluziile de la pasul 1 și pasul 2, avem 4 elemente cu același P() pe care într-o altă partiție Q le putem distribui în maxim 3 tipuri de submulțimi și conform principiului lui Dirichlet ( al cutiilor, porumbeilor, etc.) două elemente vor cădea în submulțimi cu același Q().

Raspuns: Două din cinci

Sun, 04 Feb 2018 22:42:03 +0000

Se poate considera un sistem de axe neortogonal cu centrul in unul din varfuri si axele pe laturile rombului.Formula pentru coordonatele mijlocului unui segment este aceeasi ca in sitem ortogonal,mai exact media aritmetica a abciselor respectiv ordonatelor..Acum e suficient sa aratam ca intre 5 puncte exista 2 in care media aritmetica a abciselor respectiv ordonatelor este numar intreg,adica suma abciselor respectiv ordonatelor sa fie para.Cum pentru un numar avem 2 posibile paritati pentru o pereche o sa fie 2x2=4 posibile perechi de paritati .Mai exact (par,par);(par,impar);(impar,par) si (impar,impar) dar cum avem 5 puncte neaparat 2 dintre ele vor avea aceeasi forma si in acest caz suma abciselor respectiv ordonatelor va fi para ceea ce inseamna mijlocul este pe un varf din caroiaj.